Volver a Guía
Ir al curso
$f^n (x) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones en $x_{0}=0$
f) $f(x)=\ln (1+x)$
f) $f(x)=\ln (1+x)$
Respuesta
En el Ejercicio 1.d ya habíamos calculado varias derivadas de esta función:
$ f(0) = 0 $
$ f'(0) = 1 $
$ f''(0) = -1 $
$ f'''(0) = 2 $
Y en particular yo te habia contado que para cualquier $n$ natural teníamos esta expresión para la derivada que quisieramos:
Entonces, por ejemplo, si seguimos un poco más para que lo termines de ver:
$f^{(4)} (x) = - \frac{3!}{(1+x)^4} \Rightarrow f^{(4)}(0) = - 6$
$f^{(5)} (x) = \frac{4!}{(1+x)^5} \Rightarrow f^{(5)}(0) = 24 $
Mirá, empecemos a reemplazar en el polinomio de Taylor para que veas el patrón:
$ p(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{6} - \frac{6x^4}{24} + \frac{24x^5}{120} + \cdots $
Y si simplificamos:
$ p(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + \cdots $
Lo ves el patrón? Para terminar de escribirlo de forma general para orden $n$ escribimos así el último término:
$ p(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} $
Donde el $(-1)^{n+1}$ se lo agregamos para asegurarnos que los términos con potencia par tengan signo negativo y los impares signo positivo :)
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante🤖
¡Hola! Soy ExaBoti
Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión
ExaComunidad
Conecta con otros estudiantes y profesoresNo hay comentarios aún
¡Sé el primero en comentar!